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Narcisse (Le Caravage - 1599) A l'occasion d'un travail sur les nombres narcissiques avec des élèves de terminale S, la question qui se pose assez naturellement est de savoir si ces nombres sont ou non en nombre infini. Rappelons tout d'abord la définition de ce type de nombre. Supposons que \(n\) est un entier dont l'écriture décimale comporte \(m\) chiffres. On dira que \(n\) est narcissique lorsque la somme des puissances \(m\) de chacun de ses chiffres est égale à \(n\). Par exemple: \(n=153\) est un nombre narcissique car \(1^3+5^3+3^3=1+125+27=153\).  Une rapide exploration à l'aide d'outils informatiques permet de trouver les premiers nombres narcissiques: les chiffres de 0 à 9 sont évidemment tous narcissiques. Il n'y a aucun nombre narcissique à deux chiffres. Au delà, on peut citer les premiers dans l'ordre croissant: 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474. Le fichier Algobox ci-dessous montre comment avec un algorithme de type force brute on peu

On considère un polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans un cercle de rayon 1. On trace tous les segments joignant l'un des sommets du polygone aux sommets restants. On évalue enfin le produit des longueurs de ces segments. L'animation suivante illustre la situation pour des polygones réguliers de 3 à 10 côtés. GeoGebra Feuille de travail dynamique C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com Créé avec GeoGebra Eh bien oui, vous ne rêvez pas, il semble que ce produit soit dans chaque cas égal au nombre de côtés du polygone considéré. Quand j'ai découvert cette propriété, je me suis demandé si il était possible de la démontrer de manière simple dans le cas général. Je n'ai malheureusement rien trouvé d'autre qu'une démonstration passant par les nombres complexes. Voilà comment on peut procéder: 1) On travaille dans le

Prenez un disque de papier et pliez plusieurs fois ce disque en amenant à chaque fois un point du bord sur un point fixe \(F\) situé à l'intérieur du disque. Marquez nettement le pli à chaque étape. Quelle forme vont dessiner les différents plis ainsi exécutés ? L'animation ci-dessous donne une idée claire de ce qu'il faut démontrer. GeoGebra Feuille de travail dynamique C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com Créé avec GeoGebra Il semble que la forme obtenue soit une ellipse dont l'un des foyers est le point \(F\), l'autre foyer étant le centre \(O\) du disque. On peut démontrer cela de la manière suivante: Si on considère un pli particulier noté \(T\) sur la figure ci-contre et \(H\) le point d'intersection du pli \(T\) et du segment \([OM]\), on a par symétrie \(HF=HM\). Ainsi \(HO+HF=HO+HM=R\) où \(R\) est le

Dans GeoGebra, il est très simple de lier un point à un objet (segment, droite, demi-droite, cercle ou plus généralement toute conique, courbe représentative de fonction etc…): dés que le point est créé en cliquant sur l'objet, il est automatiquement référencé comme point lié à cet objet. Par exemple, s'il s'agit d'un segment nommé a, le point créé en cliquant n'importe où sur le segment est référencé dans ses propriétés par "Point[a]". Mais comment lier un point à une figure obtenue comme réunion de plusieurs objets ? Un exemple simple est de lier un point à la périphérie d'un rectangle. Ce rectangle est référencé par le logiciel comme la réunion des quatre segments formant ses côtés. La méthode est en fait fort simple: 1) Créer une liste dont les éléments sont les différentes parties de la figure. Par exemple, dans le cas de notre rectangle: les quatre côtés étant désignés par a, b, c et d, on crée la liste L={a,b,c,d}. 2) Pour créer un point M qui r

A l'occasion de l'étude d'une situation, prise dans un livre de seconde, sur le test de l'efficacité d'un médicament comparé à un placebo dans deux pays différents (exercice destiné à montré ce qu'on appelle un effet de structure : le médicament étant plus efficace que le placebo dans chacun des deux pays, se révèle moins efficace que le placebo lorsqu'on réunit les données des deux pays), l'illustration suivante complétait la données des effectifs nécessaires à des calculs de fréquence. Je ne sais pas quelle était l'intention de l'auteur de l'exercice en proposant ce graphique mais la vue de celui-ci amène quelques remarques: 1) On peut se demander tout d'abord si ce graphique s'imposait. Les fréquences figurées par cet histogramme étaient obtenues très immédiatement dans un tableau d'effectifs à compléter par les élèves. Un histogramme pour illustrer la différence entre deux valeurs  était-il nécessaire ? 2)  Plus gênant, le fai

A l'occasion de l'étude d'une situation, prise dans un livre de seconde, sur le test de l'efficacité d'un médicament comparé à un placebo dans deux pays différents (exercice destiné à montré ce qu'on appelle un effet de structure : le médicament étant plus efficace que le placebo dans chacun des deux pays, se révèle moins efficace que le placebo lorsqu'on réunit les données des deux pays), l'illustration suivante complétait la donnée des effectifs nécessaires à des calculs de fréquence. Je ne sais pas quelle était l'intention de l'auteur de l'exercice en proposant ce graphique mais la vue de celui-ci amène quelques remarques: 1) On peut se demander tout d'abord si ce graphique s'imposait. Les fréquences figurées par cet histogramme étaient obtenues très immédiatement dans un tableau d'effectifs à compléter par les élèves. Un histogramme pour illustrer la différence entre deux valeurs  était-il nécessaire ? 2)  Plus gênant, le fait

Martin Gardner fut un génial vulgarisateur des mathématiques, inventeur entre autre de l'hexaflexagone et qui aurait eu 98 ans demain le 21 octobre.  Dans un de ses nombreux articles,il  évoqua la situation suivante: Une personne possédant deux perroquets (un blanc et un noir) reçoit un visiteur. Celui-ci lui demande: "l'un d'eux est-il un mâle ?". A la réponse positive du propriétaire des perroquets, le visiteur déduit que la probabilité que les deux perroquets soient des mâles est de \(\dfrac{1}{3}\). Supposons maintenant que le visiteur pose la question suivante: "le blanc est-il un mâle ?". Cette fois, la réponse positive du propriétaire permet au visiteur de déduire que la probabilité que les deux perroquets soient des mâles est de \(\dfrac{1}{2}\). Ce résultat semble tout à fait paradoxal: on se demande en effet, en quoi la couleur du perroquet objet de la question modifie les probabilités. Pourtant, une simple énumération des cas possibles permet