Les perroquets de Martin Gardner

Martin Gardner fut un génial vulgarisateur des mathématiques, inventeur entre autre de l'hexaflexagone et qui aurait eu 98 ans demain le 21 octobre. 
Dans un de ses nombreux articles,il évoqua la situation suivante:
Une personne possédant deux perroquets (un blanc et un noir) reçoit un visiteur. Celui-ci lui demande: "l'un d'eux est-il un mâle ?". A la réponse positive du propriétaire des perroquets, le visiteur déduit que la probabilité que les deux perroquets soient des mâles est de \(\dfrac{1}{3}\).
Supposons maintenant que le visiteur pose la question suivante: "le blanc est-il un mâle ?". Cette fois, la réponse positive du propriétaire permet au visiteur de déduire que la probabilité que les deux perroquets soient des mâles est de \(\dfrac{1}{2}\).
Ce résultat semble tout à fait paradoxal: on se demande en effet, en quoi la couleur du perroquet objet de la question modifie les probabilités.
Pourtant, une simple énumération des cas possibles permet de comprendre le phénomène.

Si on note M pour mâle et F pour femelle, les quatre cas possibles sont (M;M), (M;F), (F;M) et (F;F) (le premier désignant le perroquet blanc et le second désignant le noir).
Dans la première situation, il y a bien un cas (M;M) sur trois (M;M), (M;F) et (F;M) d'où la probabilité de \(\dfrac{1}{3}\).
Dans la seconde situation, le fait de connaître le sexe du perroquet blanc restreint le nombre de cas possibles à deux: (M;M) et (M;F) d'où la probabilité de \(\dfrac{1}{2}\).

Une variation étonnante de ce paradoxe est le paradoxe dit "du second as". Bien que le nombre de cas à dénombrer soit beaucoup plus important (et donc demande quelques connaissances en dénombrement), elle est basée sur la même idée que celle des perroquets de Martin Garner.
On distribue à un joueur une main de 13 cartes issues d'un jeu de 52 cartes.
Supposons dans un premier temps que ce joueur réponde oui à la question: "ta main contient-elle un as ?". Calculons alors la probabilité que sa main contiennent un deuxième as.
Le nombre de mains contenant au moins un as est donné par \(\binom{52}{13}-\binom{48}{13}=442085310304\): on ôte à l'ensemble des mains possibles celles qui ne contiennent pas d'as.
Le nombre de mains contenant au moins deux as est donné par  \(\binom{52}{13}-\binom{48}{13}-\binom{4}{1} \times \binom{48}{12}=163411172432\): on enlève au nombre précédent le nombre de mains contenant exactement un as.
La probabilité que le joueur détienne un second as sachant qu'il en détient déjà un est donc de \(\dfrac{163411172432}{442085310304}=\dfrac{5359}{14498} \approx 0,37\).
Supposons dans un deuxième temps que ce joueur réponde oui à la question: "ta main contient-elle l'as de pique?". Calculons alors la probabilité que sa main contiennent un deuxième as.

Le nombre de mains contenant au moins l'as de pique est donné par \(\binom{52}{13}-\binom{51}{13}=158753389900\): on ôte à l'ensemble des mains possibles celles qui ne contiennent pas l'as de pique.
Le nombre de mains contenant au moins deux as dont l'as de pique est donné par  \(\binom{52}{13}-\binom{51}{13}-\binom{48}{12}=89084855432\): on enlève au nombre précédent le nombre de mains contenant comme seul as l'as de pique.
La probabilité que le joueur détienne un second as sachant qu'il détient déjà l'as de pique est donc de \(\dfrac{89084855432}{158753389900}=\dfrac{11686}{20825} \approx 0,56\).
On aboutit donc à ce résultat tout à fait contre-intuitif: le fait de connaître la couleur (coeur, carreau, trèfle ou pique) du premier as détenu par le joueur augmente de manière impressionnante la probabilité qu'il détienne un second as.
Il y a moins de mains contenant l'as de pique que de mains contenant un as quelconque mais le calcul montre qu'une proportion plus importante de ces mains contient un deuxième as.


N.B. La notation \(\binom{n}{p}\) utilisée dans la deuxième partie désigne le coefficient binomial qui donne le nombre de façon d'extraire (sans ordre) \(p\) éléments d'un ensemble en contenant \(n\). Ce coefficient binomial est égal à \(\dfrac{n!}{p!(n-p)!}\).
Par exemple: les mains de deux cartes extraites des quatre cartes \(2\spadesuit\) - \(3\clubsuit\) - \(4\heartsuit\) - \(5\diamondsuit\) sont \(2\spadesuit\) et \(3\clubsuit\), \(2\spadesuit\) et \(4\heartsuit\), \(2\spadesuit\) et \(5\diamondsuit\), \(3\clubsuit\) et \(4\heartsuit\), \(3\clubsuit\) et \(5\diamondsuit\), \(4\heartsuit\) et \(5\diamondsuit\). Ces mains sont au nombre de six ce que confirme le calcul: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!2!}=\dfrac{24}{2 \times 2}=6\).