Un produit étonnant
On considère un polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans un cercle de rayon 1.
On trace tous les segments joignant l'un des sommets du polygone aux sommets restants.
On évalue enfin le produit des longueurs de ces segments.
L'animation suivante illustre la situation pour des polygones réguliers de 3 à 10 côtés.
GeoGebra Feuille de travail dynamique
Eh bien oui, vous ne rêvez pas, il semble que ce produit soit dans chaque cas égal au nombre de côtés du polygone considéré.
Quand j'ai découvert cette propriété, je me suis demandé si il était possible de la démontrer de manière simple dans le cas général. Je n'ai malheureusement rien trouvé d'autre qu'une démonstration passant par les nombres complexes.
Voilà comment on peut procéder:
1) On travaille dans le plan complexe et on suppose que les polygones considérés sont centrés en O (origine du repère) et inscrit dans le cercle unité.
Les sommets \(A_k\) du polygone à \(n\) côtés ont donc pour affixes \(z_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\) pour tous les entiers \(k\) allant de 0 à \(n-1\).
2) On reconnait dans cette famille de nombres complexes les racines \(n\)-ièmes de l'unité, c'est à dire les solutions de l'équation \(z^n-1=0\).
Connaissant les racines du polynôme \(P(z)=z^n-1\), on peut le factoriser de la manière suivante: \(P(z)=(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_{n-1})\).
Or \(z_0=1\) donc \(\dfrac{P(z)}{z-1}=\dfrac{z^n-1}{z-1}=(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_{n-1})\).
Mais puisque \(\dfrac{z^n-1}{z-1}=1+z+z^2+ \ldots +z^{n-1}\) (somme des termes consécutifs d'une suite géométrique), on a donc l'identité: \((z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_{n-1})=1+z+z^2+ \ldots +z^{n-1}\) valable pour tout nombre complexe \(z\).
3) Il nous reste à prendre \(z=1\) et à passer aux modules dans l'égalité précédente.
On obtient: \(|(1-z_1)(1-z_2)\ldots(1-z_{n-1})|=|1+1+1^2+ \ldots +1^{n-1}|\) qui est équivalent à \(|(1-z_1)| \times |(1-z_2)| \times \ldots \times |(1-z_{n-1})|=|n|=n\).
On a donc bien démontré le résultat étonnant observé plus haut: \(A_0A_1 \times A_0A_2 \times \ldots \times A_0A_{n-1}=n\) ce résultat étant valable pour tout entier \(n \geqslant 3\).
On trace tous les segments joignant l'un des sommets du polygone aux sommets restants.
On évalue enfin le produit des longueurs de ces segments.
L'animation suivante illustre la situation pour des polygones réguliers de 3 à 10 côtés.
| Créé avec GeoGebra |
Eh bien oui, vous ne rêvez pas, il semble que ce produit soit dans chaque cas égal au nombre de côtés du polygone considéré.
Quand j'ai découvert cette propriété, je me suis demandé si il était possible de la démontrer de manière simple dans le cas général. Je n'ai malheureusement rien trouvé d'autre qu'une démonstration passant par les nombres complexes.
Voilà comment on peut procéder:
1) On travaille dans le plan complexe et on suppose que les polygones considérés sont centrés en O (origine du repère) et inscrit dans le cercle unité.
Les sommets \(A_k\) du polygone à \(n\) côtés ont donc pour affixes \(z_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\) pour tous les entiers \(k\) allant de 0 à \(n-1\).
2) On reconnait dans cette famille de nombres complexes les racines \(n\)-ièmes de l'unité, c'est à dire les solutions de l'équation \(z^n-1=0\).
Connaissant les racines du polynôme \(P(z)=z^n-1\), on peut le factoriser de la manière suivante: \(P(z)=(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_{n-1})\).
Or \(z_0=1\) donc \(\dfrac{P(z)}{z-1}=\dfrac{z^n-1}{z-1}=(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_{n-1})\).
Mais puisque \(\dfrac{z^n-1}{z-1}=1+z+z^2+ \ldots +z^{n-1}\) (somme des termes consécutifs d'une suite géométrique), on a donc l'identité: \((z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_{n-1})=1+z+z^2+ \ldots +z^{n-1}\) valable pour tout nombre complexe \(z\).
3) Il nous reste à prendre \(z=1\) et à passer aux modules dans l'égalité précédente.
On obtient: \(|(1-z_1)(1-z_2)\ldots(1-z_{n-1})|=|1+1+1^2+ \ldots +1^{n-1}|\) qui est équivalent à \(|(1-z_1)| \times |(1-z_2)| \times \ldots \times |(1-z_{n-1})|=|n|=n\).
On a donc bien démontré le résultat étonnant observé plus haut: \(A_0A_1 \times A_0A_2 \times \ldots \times A_0A_{n-1}=n\) ce résultat étant valable pour tout entier \(n \geqslant 3\).
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