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Avant-hier, un de mes amis proches avait 20 ans.  L'année prochaine, il aura 23 ans. Comment cela est-il possible ?  Bonne année 2013 :-)

Martin Gardner fut un génial vulgarisateur des mathématiques, inventeur entre autre de l'hexaflexagone et qui aurait eu 98 ans demain le 21 octobre.  Dans un de ses nombreux articles,il  évoqua la situation suivante: Une personne possédant deux perroquets (un blanc et un noir) reçoit un visiteur. Celui-ci lui demande: "l'un d'eux est-il un mâle ?". A la réponse positive du propriétaire des perroquets, le visiteur déduit que la probabilité que les deux perroquets soient des mâles est de \(\dfrac{1}{3}\). Supposons maintenant que le visiteur pose la question suivante: "le blanc est-il un mâle ?". Cette fois, la réponse positive du propriétaire permet au visiteur de déduire que la probabilité que les deux perroquets soient des mâles est de \(\dfrac{1}{2}\). Ce résultat semble tout à fait paradoxal: on se demande en effet, en quoi la couleur du perroquet objet de la question modifie les probabilités. Pourtant, une simple énumération des cas possibles permet ...

A l'occasion d'un travail sur un énoncé d'olympiades, des élèves de 1ère S découvrent un puzzle étonnant qui introduit des notions intéressantes et bien connues dans la littérature mathématique. Dans un premier temps , on peut démontrer qu'il est impossible d'obtenir un puzzle exact avec \(a\) et \(b\) entiers. En effet, un puzzle exact doit au moins vérifier la conservation des aires, c'est à dire que l'aire du carré de départ doit être égale à l'aire du rectangle d'arrivée. Cela se traduit par \((a+b)^2=(2a+b)a\) qui après développement conduit à la condition \(a^2-ab-b^2=0\). Par division de toute l'équation par \(b^2\) (\(b \neq 0 \)), on obtient \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^2-\left(\dfrac{a}{b}\right)-1=0\). Le quotient \(\dfrac{a}{b}\) est donc solution de l'équation du second degré \(x^2-x-1=0\). \(\dfrac{a}{b}\) est donc égal à la seule solution positive de cette équation c'est à dire \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\): on reconnait ici le ...

Une enigme rencontrée il y a quelques années (dans l'excellent livre "The Moscow puzzles" écrit par Boris Kordemsky) et qui fait partie d'une famille d'énigmes où on produit une "démonstration" d'une égalité objectivement fausse et où il faut débusquer l'erreur de raisonnement. Ce que j'aime beaucoup dans celle-ci, c'est la mise en scène mais aussi le fait que l'erreur à débusquer est d'un type différent de la grande majorité des énigmes de cette famille, erreur somme toute instructive puisque rencontrée assez couramment dans les classes de Lycée. Soit \( x \) le poids d'un éléphant et \( y \) le poids d'un moustique. Appelons la somme des deux poids \( 2v \) donc \( x+y=2v \). De cette équation, nous pouvons tirer : \( x-2v=-y \) (1) et \( x=-y+2v \) (2). En multipliant (1) par \( x \), on obtient : \( x^2-2vx=-yx \). En utilisant (2) dans la partie droite, on obtient \( x^2-2vx=y^2-2vy \). Additionnons \( v^2 \) de part ...