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On considère un polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans un cercle de rayon 1. On trace tous les segments joignant l'un des sommets du polygone aux sommets restants. On évalue enfin le produit des longueurs de ces segments. L'animation suivante illustre la situation pour des polygones réguliers de 3 à 10 côtés. GeoGebra Feuille de travail dynamique C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com Créé avec GeoGebra Eh bien oui, vous ne rêvez pas, il semble que ce produit soit dans chaque cas égal au nombre de côtés du polygone considéré. Quand j'ai découvert cette propriété, je me suis demandé si il était possible de la démontrer de manière simple dans le cas général. Je n'ai malheureusement rien trouvé d'autre qu'une démonstration passant par les nombres complexes. Voilà comment on peut procéder: 1) On travaille dans le ...

Prenez un disque de papier et pliez plusieurs fois ce disque en amenant à chaque fois un point du bord sur un point fixe \(F\) situé à l'intérieur du disque. Marquez nettement le pli à chaque étape. Quelle forme vont dessiner les différents plis ainsi exécutés ? L'animation ci-dessous donne une idée claire de ce qu'il faut démontrer. GeoGebra Feuille de travail dynamique C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com Créé avec GeoGebra Il semble que la forme obtenue soit une ellipse dont l'un des foyers est le point \(F\), l'autre foyer étant le centre \(O\) du disque. On peut démontrer cela de la manière suivante: Si on considère un pli particulier noté \(T\) sur la figure ci-contre et \(H\) le point d'intersection du pli \(T\) et du segment \([OM]\), on a par symétrie \(HF=HM\). Ainsi \(HO+HF=HO+HM=R\) où \(R\) est le...

Dans GeoGebra, il est très simple de lier un point à un objet (segment, droite, demi-droite, cercle ou plus généralement toute conique, courbe représentative de fonction etc…): dés que le point est créé en cliquant sur l'objet, il est automatiquement référencé comme point lié à cet objet. Par exemple, s'il s'agit d'un segment nommé a, le point créé en cliquant n'importe où sur le segment est référencé dans ses propriétés par "Point[a]". Mais comment lier un point à une figure obtenue comme réunion de plusieurs objets ? Un exemple simple est de lier un point à la périphérie d'un rectangle. Ce rectangle est référencé par le logiciel comme la réunion des quatre segments formant ses côtés. La méthode est en fait fort simple: 1) Créer une liste dont les éléments sont les différentes parties de la figure. Par exemple, dans le cas de notre rectangle: les quatre côtés étant désignés par a, b, c et d, on crée la liste L={a,b,c,d}. 2) Pour créer un point M qui r...

A l'occasion d'un travail sur un énoncé d'olympiades, des élèves de 1ère S découvrent un puzzle étonnant qui introduit des notions intéressantes et bien connues dans la littérature mathématique. Dans un premier temps , on peut démontrer qu'il est impossible d'obtenir un puzzle exact avec \(a\) et \(b\) entiers. En effet, un puzzle exact doit au moins vérifier la conservation des aires, c'est à dire que l'aire du carré de départ doit être égale à l'aire du rectangle d'arrivée. Cela se traduit par \((a+b)^2=(2a+b)a\) qui après développement conduit à la condition \(a^2-ab-b^2=0\). Par division de toute l'équation par \(b^2\) (\(b \neq 0 \)), on obtient \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^2-\left(\dfrac{a}{b}\right)-1=0\). Le quotient \(\dfrac{a}{b}\) est donc solution de l'équation du second degré \(x^2-x-1=0\). \(\dfrac{a}{b}\) est donc égal à la seule solution positive de cette équation c'est à dire \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\): on reconnait ici le ...

James Watt (1736-1819) fut un ingénieur écossais qui travailla à l'amélioration de la machine à vapeur et dont les travaux furent déterminants pendant la révolution industrielle. Il a d'ailleurs donné son nom à l'unité de la puissance (symbôle W).  Au cours de ses recherches, il a exploré divers types de transmissions qui peuvent être schématisées par des systèmes de barres articulées (les bielles d'un moteur). Un exemple de système à trois barres articulées est présenté ci-dessous. Saisissez l'articulation située en bas à gauche pour faire bouger le système de barres articulées. Activer la trace du milieu de la barre du bas puis observer la courbe dessinée par celui-ci. Etonnant, non ? GeoGebra Feuille de travail dynamique C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com Créé avec GeoGebra -->