Pliez, pliez, pliez encore...

Prenez un disque de papier et pliez plusieurs fois ce disque en amenant à chaque fois un point du bord sur un point fixe \(F\) situé à l'intérieur du disque. Marquez nettement le pli à chaque étape.
Quelle forme vont dessiner les différents plis ainsi exécutés ?
L'animation ci-dessous donne une idée claire de ce qu'il faut démontrer.

 GeoGebra Feuille de travail dynamique
C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com
Créé avec GeoGebra





Il semble que la forme obtenue soit une ellipse dont l'un des foyers est le point \(F\), l'autre foyer étant le centre \(O\) du disque.
On peut démontrer cela de la manière suivante:
Si on considère un pli particulier noté \(T\) sur la figure ci-contre et \(H\) le point d'intersection du pli \(T\) et du segment \([OM]\), on a par symétrie \(HF=HM\).
Ainsi \(HO+HF=HO+HM=R\) où \(R\) est le rayon du disque.
On peut donc dire que chaque pli engendre un point \(H\) tel que \(HF+HO\) est constant: ce point appartient donc à l'ellipse de foyers \(F\) et \(O\) et de grand axe de longueur égale à \(R\) (définition bifocale d'une ellipse).
\(H\) étant enfin le seul point de \(T\) appartenant à l'ellipse, le pli \(T\) est tangent à l'ellipse.
Les plis effectués forment donc une série de tangentes qui enveloppent l'ellipse.

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