Presque exact
A l'occasion d'un travail sur un énoncé d'olympiades, des élèves de 1ère S découvrent un puzzle étonnant qui introduit des notions intéressantes et bien connues dans la littérature mathématique.
Dans un premier temps, on peut démontrer qu'il est impossible d'obtenir un puzzle exact avec \(a\) et \(b\) entiers.
En effet, un puzzle exact doit au moins vérifier la conservation des aires, c'est à dire que l'aire du carré de départ doit être égale à l'aire du rectangle d'arrivée. Cela se traduit par \((a+b)^2=(2a+b)a\) qui après développement conduit à la condition \(a^2-ab-b^2=0\).
Par division de toute l'équation par \(b^2\) (\(b \neq 0 \)), on obtient \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^2-\left(\dfrac{a}{b}\right)-1=0\).
Le quotient \(\dfrac{a}{b}\) est donc solution de l'équation du second degré \(x^2-x-1=0\).
\(\dfrac{a}{b}\) est donc égal à la seule solution positive de cette équation c'est à dire \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\): on reconnait ici le nombre d'or.GeoGebra Feuille de travail dynamique
\(\sqrt{5}\) étant irrationnel (c'est à dire ne pouvant s'écrire comme quotient de deux entiers), \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) ne peut lui non plus s'écrire comme quotient de deux entiers.
Il est donc impossible d'obtenir un puzzle exact avec \(a\) et \(b\) entiers.
Dans un second temps, on essaye de trouver des puzzle non exacts mais "satisfaisants visuellement". Ces puzzles ne sont pas exacts mais donnent l'impression visuelle qu'ils le sont.
Ces puzzles vérifient \(a^2-ab-b^2=\pm 1\): cela signifie qu'il n'y a qu'une différence de une unité entre l'aire du carré et celle du rectangle. Une unité de plus sera matérialisée par un "trou" de \(1 \, \textrm{cm}^2\) sur la diagonale et une unité de moins sera matérialisée par un chevauchement de \(1 \, \textrm{cm}^2\) sur la diagonale.
Un exemple est illustré ci-dessous à l'aide de GeoGebra avec \(a=5\) et \(b=3\) (manipuler le curseur pour observer la transformation).
On constate sur cette animation qu'on passe d'un carré de \(64 \, \textrm{cm}^2\) à un rectangle de \(65 \, \textrm{cm}^2\). La différence de \(1 \, \textrm{cm}^2\) étant visualisée par le "trou" sur la diagonale.
On peut démontrer facilement que si le couple \((a;b)\) produit un puzzle presque exact alors le couple \((a+b;a)\) produit lui aussi un puzzle presque exact.
On peut ainsi générer de proche en proche des puzzles presque exacts de dimensions de plus en plus grandes.
Par exemple, le couple \((5;3)\) conduit au couple \((8;5)\) puis à \((13;8)\), \((21;13)\), \((34;21)\) etc... On reconnait ici les termes de la suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 etc...) où chaque terme est égal à la somme des deux précédents.
Une des propriétés de cette suite est la convergence de la suite des quotients de deux termes consécutifs vers le nombre d'or. Autrement dit: si \((u_n)\) est la suite de Fibonacci alors \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}{\frac{u_{n+1}}{u_n}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
Quelques essais sur les premiers termes permettent d'observer cette convergence:
\(\dfrac{8}{5}=1,6\) - \(\dfrac{13}{8}=1,625\) - \(\dfrac{21}{13} \approx 1,615\) - \(\dfrac{34}{21} \approx 1,619\) - \(\dfrac{55}{34} \approx 1,6176\) - \(\dfrac{89}{55} \approx 1,6181\). On a ici au bout de 11 termes déjà trois décimales exactes.
En poursuivant l'expérience, on constate par exemple qu'arrivé au 24ième terme: \(u_{23}=28657\) et \(u_{24}=46368\). Or \( \dfrac{46368}{28657} \approx 1,61803398\) ce qui donne 8 décimales exactes.
En utilisant des couples \((a;b)\) issus de cette suite, on construit donc des puzzles presque exacts qui s'approchent de plus en plus d'un puzzle exact.
On peut remarquer que la différence de \(1 \, \textrm{cm}^2\) visualisée plus haut sur le rectangle de \(65 \, \textrm{cm}^2\) constitue environ \(1,5\%\) de l'aire de ce rectangle (donc assez visible). Par contre, la même différence de \(1 \, \textrm{cm}^2\) sur le rectangle de 144 \(\times\) 55=7920 \(\textrm{cm}^2\) (obtenu avec le couple \((a;b)=(55;34)\)) ne constitue plus que environ un dix-millièmes de sa surface (invisible à l'oeil nu).
L'animation ci-dessous montre le résultat (ici ce n'est pas un "trou" mais un chevauchement au niveau de la diagonale): le défaut est invisible à l'oeil nu. L'ensemble donne vraiment l'impression d'un puzzle exact.
GeoGebra Feuille de travail dynamique
En effet, un puzzle exact doit au moins vérifier la conservation des aires, c'est à dire que l'aire du carré de départ doit être égale à l'aire du rectangle d'arrivée. Cela se traduit par \((a+b)^2=(2a+b)a\) qui après développement conduit à la condition \(a^2-ab-b^2=0\).
Par division de toute l'équation par \(b^2\) (\(b \neq 0 \)), on obtient \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^2-\left(\dfrac{a}{b}\right)-1=0\).
Le quotient \(\dfrac{a}{b}\) est donc solution de l'équation du second degré \(x^2-x-1=0\).
\(\dfrac{a}{b}\) est donc égal à la seule solution positive de cette équation c'est à dire \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\): on reconnait ici le nombre d'or.
\(\sqrt{5}\) étant irrationnel (c'est à dire ne pouvant s'écrire comme quotient de deux entiers), \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) ne peut lui non plus s'écrire comme quotient de deux entiers.
Il est donc impossible d'obtenir un puzzle exact avec \(a\) et \(b\) entiers.
Dans un second temps, on essaye de trouver des puzzle non exacts mais "satisfaisants visuellement". Ces puzzles ne sont pas exacts mais donnent l'impression visuelle qu'ils le sont.
Ces puzzles vérifient \(a^2-ab-b^2=\pm 1\): cela signifie qu'il n'y a qu'une différence de une unité entre l'aire du carré et celle du rectangle. Une unité de plus sera matérialisée par un "trou" de \(1 \, \textrm{cm}^2\) sur la diagonale et une unité de moins sera matérialisée par un chevauchement de \(1 \, \textrm{cm}^2\) sur la diagonale.
Un exemple est illustré ci-dessous à l'aide de GeoGebra avec \(a=5\) et \(b=3\) (manipuler le curseur pour observer la transformation).
Créé avec GeoGebra |
On peut démontrer facilement que si le couple \((a;b)\) produit un puzzle presque exact alors le couple \((a+b;a)\) produit lui aussi un puzzle presque exact.
On peut ainsi générer de proche en proche des puzzles presque exacts de dimensions de plus en plus grandes.
Par exemple, le couple \((5;3)\) conduit au couple \((8;5)\) puis à \((13;8)\), \((21;13)\), \((34;21)\) etc... On reconnait ici les termes de la suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 etc...) où chaque terme est égal à la somme des deux précédents.
Une des propriétés de cette suite est la convergence de la suite des quotients de deux termes consécutifs vers le nombre d'or. Autrement dit: si \((u_n)\) est la suite de Fibonacci alors \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}{\frac{u_{n+1}}{u_n}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
Quelques essais sur les premiers termes permettent d'observer cette convergence:
\(\dfrac{8}{5}=1,6\) - \(\dfrac{13}{8}=1,625\) - \(\dfrac{21}{13} \approx 1,615\) - \(\dfrac{34}{21} \approx 1,619\) - \(\dfrac{55}{34} \approx 1,6176\) - \(\dfrac{89}{55} \approx 1,6181\). On a ici au bout de 11 termes déjà trois décimales exactes.
En poursuivant l'expérience, on constate par exemple qu'arrivé au 24ième terme: \(u_{23}=28657\) et \(u_{24}=46368\). Or \( \dfrac{46368}{28657} \approx 1,61803398\) ce qui donne 8 décimales exactes.
En utilisant des couples \((a;b)\) issus de cette suite, on construit donc des puzzles presque exacts qui s'approchent de plus en plus d'un puzzle exact.
On peut remarquer que la différence de \(1 \, \textrm{cm}^2\) visualisée plus haut sur le rectangle de \(65 \, \textrm{cm}^2\) constitue environ \(1,5\%\) de l'aire de ce rectangle (donc assez visible). Par contre, la même différence de \(1 \, \textrm{cm}^2\) sur le rectangle de 144 \(\times\) 55=7920 \(\textrm{cm}^2\) (obtenu avec le couple \((a;b)=(55;34)\)) ne constitue plus que environ un dix-millièmes de sa surface (invisible à l'oeil nu).
L'animation ci-dessous montre le résultat (ici ce n'est pas un "trou" mais un chevauchement au niveau de la diagonale): le défaut est invisible à l'oeil nu. L'ensemble donne vraiment l'impression d'un puzzle exact.
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